自然对数底e的发明，其实来自于人类对计算无止尽的追求

为了计算2的任意次方，比如说2^x（其中x是任意非整数且大于0），聪明数学家们想到了一个方法：

首先，把x变得非常小——比如把它除以1万，计算出2^(x/10000)的结果；随后，只需要把这个结果连乘10000次，就能重新得到2^x的值。

也就是说，2^x = (2^(x/10000))^10000，这从定义上说是显然的

为什么要先缩小，再放大呢？因为数学家们发现，当x特别小时，2^x随着x的增长几乎是线性的。也就是说，y=2^x的函数曲线，x=0 附近看起来几乎就是一条直线。

而那条直线的系数，经过大量重复的仔细计算，是0.693.....

也就是说，当x特别小时，2^x 约等于 1 + 0.693 x；把这个数算出来后，再连乘1万次，就能得到原值。这就把原本不可能计算出来的指数（特别是当指数是小数时）给算出来。这其实是计算机发明之前，所有高精度近似计算的秘诀。

现实中，你当然不需要真的乘1万次；毕竟乘一次就是2次方，把两次方的结果自己连乘一次就是四次方，以此类推。最多只需要Log(10000)，约等于13次而已

因此，数学家们对2的任意x次方创造出了一种非常神奇的算法：

2^x ～ (1 + 0.693 x/N)^N ，只要N是一个非常大的数

但是，0.693这个系数放在前面，令每次计算确实大不方便，精度也有问题。不够“自然”。为了让上面这个式子看起来更自然，最简单的方法就是换元：

令 x = x' / 0.693

这样，就得到：

2^(1/0.693 * x') = (1 + x'/N)^N

将 2^(1/0.693) 提取出来，记为e，并把x'上面的小标去掉

就得到

e^x = (1 + x/N)^N，更严谨的：

e^x = lim N->infinity {(1 + x/N)^N}。

这里的e就是所谓的“自然对数”的底，因为他让指数的计算近似公式看起来更自然

经过计算，不难得出 e = 2.718....

由上可知：自然对数描述的是2^x在原点附近的斜率，是一个数学实体，是实际存在的东西

而不是一个人造之物

聪明的你学会了吗？